Construcción de triángulos 1: tres lados

Construción dun triángulo dados os tres lados (a, b y c)

1. Sobre una recta cualquiera llevamos la medida de un de los lados (por ejemplo, a) obteniendo así los vértices B y C.

2. Con centro en B y radio igual a c trazamos un arco.

3. Con centro en C y radio igual a b trazamos otro arco.

4.El punto donde se cortan los dos arcos que acabamos de trazar resulta ser el vértice A que nos faltaba.

Triángulos 4: la bisectriz

BISECTRIZ. Recordaremos que la bisectriz es a recta que, pasando por el vértice de un ángulo, divide a éste en dos partes iguales. Dado que un triángulo tiene tres ángulos, evidentemente tendrá también tres bisectrices, que se cortarán en un punto que llamamos "INCENTRO".

El incentro está siempre dentro do triángulo, y además es el centro de la circunferencia inscrita en el mismo (es decir, una circunferencia que queda encerrada en el triángulo y es tangente a los tres lados), ya que por pertenecer simultáneamente a las tres bisectrices, equidista de los tres lados del triángulo.



Si prolongamos dos lados, por ejemplo AB y AC, obtenemos dos ángulos externos, y sus bisectrices se cortarán en el punto E_a, que equidista del lado BC y de las prolongaciones de AB y AC; este punto, llamado “exicentro”, será el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo.

Podemos encontrar dos exicentros más, con sús correspondientes circunferencias, prolongando las parellas de lados BC-BA y CA-CB:

Triángulos 3: elementos notables, Mediana

MEDIANA. Definimos "mediana" como el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Un triángulo tiene tres medianas que se nombran por la letra "m" con subíndice correspondiente el lado del que arrancan: m_a, m_b, m_c. Las tres medianas se cortarán en un punto que llamaremos "BARICENTRO" (que coincide con el centro de gravedad del triángulo). El baricentro de un triángulo debe estar siempre dentro del triángulo, y situado en cada mediana a 2/3 de su longitud del vértice, ya 1/3 del punto medio del lado correspondiente.

Esta proporción puede demostrarse con la siguiente figura: si consideramos E y D como puntos medios de los segmentos BO_B y AO_B, respectivamente, y M_a y M_b como puntos medios de CB y AC, el cuadrilátero M_bM_aED resulta ser un paralelogramo, ya que aplicando semejanza los triángulos ABC y ABO_B, los segmentos M_bM_a y DE son iguales y paralelos. El punto O_B corta a las diagonales del paralelogramo en su punto medio, por lo que M_aO_B = DO_B = AD, y por tanto:

M_aO_B = m_a/3

Si se toman las otras medianas se puede llegar a la misma conclusión.

Triángulos 2: elementos notables, mediatriz

MEDIATRIZ. Recta perpendicular a un lado en su punto medio (es decir, si consideramos cada lado como un segmento, estaríamos hablando de la mediatriz de ese segmento). Como todo triángulo tiene tres lados, tendrá también tres mediatrices (una por cada lado).

Triángulos 1: elementos notables, altura

ALTURA. Si trazamos una recta perpendicular desde un vértice al lado opuesto, el segmento comprendido entre el vértice y el lado recibe el nombre de "altura" (h) del triángulo.

Todo triángulo tiene tres alturas, que se designarán por la letra "h" con subíndice correspondiente al lado al que es perpendicular: h_a, h_b, h_c. Las tres alturas del triángulo se cortan en un punto, que llamamos "ORTOCENTRO" (el ortocentro puede estar fuera del triángulo):

El triángulo que resulta de unir los extremos de las alturas, H_;a;, H_b y H_c se denomina órtico del ABC. 

El triángulo que resulta de trazar líneas paralelas a cada uno de los lados del triángulo ABC pasando por los vértices opuestos a dichos lados se denomina triángulo circunscrito o triángulo A'B'C', siendo los dos semejantes.
El ortocentro de un triángulo ABC coincide con el incentro de su órtico y con el circuncentro del triángulo circunscrito:

Conceptos geométricos IX: Polígonos

Polígono: figura plana y cerrada, formada por una serie de rectas que se cortan de dos en dos. Los puntos donde coinciden dos lados consecutivos se llaman “vértices”, y cada un de los segmentos que delimitan el polígono se denominan “lado”. De la misma forma que en los casos anteriores, los vértices se designarán con letras mayúsculas, mientras que para los lados (si es preciso) se utilizarán letras minúsculas.


Los polígonos se clasifican en dos tipos fundamentales:

a) Polígonos regulares. Aquellos que tienen sus lados y también sus ángulos iguales.
b) Polígonos irregulares. Los que no cumplen alguna de las condiciones expresadas.

Conceptos geométricos VIII: Cuadriláteros

Cuadrilátero: figura plana cerrada, formada por cuatro rectas que se cortan dos a dos.
Al igual que en los triángulos, los puntos de corte de las rectas se llamarán vértices, y los segmentos que definen el cuadrilátero son sus lados.

También se designan con letras mayúsculas para los vértices y, si es necesario, con letras minúsculas los lados.

Conceptos geométricos VII: Triángulos

Figura plana y cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos.
Los puntos donde se cortan las rectas se llaman “vértices”, y los segmentos que definen, “lados”.

La designación de los triángulos se hace colocando letras mayúsculas para los vértices (ya que son puntos) y letras minúsculas para los lados (por ser trozos de rectas), utilizando la misma letra para un vértice y para el lado opuesto a él.

Conceptos geométricos VI: circunferencia

Constituye el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto interior que llamaremos “centro”. La distancia entre este centro y un punto cualquiera de la circunferencia se denomina “radio”.


En la circunferencia hay una serie de elementos notables:

a) Círculo. La porción de plano limitada por la circunferencia. (la circunferencia es una línea, el círculo una superficie).

b) Secante. Línea recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

c) Cuerda. Trozo de la secante comprendida entre los dos puntos de corte con la circunferencia.

d) Diámetro. Cuerda que pasa por el centro de la  circunferencia.

e) Arco. Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

f) Sector circular. Porción del círculo comprendida entre dos radios y el arco que limitan.

g) Segmento circular. Parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco correspondiente.

h) Anillo (o corona) circular. Trozo de plano comprendido entre dos circunferencias que tienen el mismo centro pero distinto radio.

Conceptos geométricos V: Ángulos

Cuando dos rectas están situadas en un mismo plano, pueden tener únicamente dos relaciones entre ellas:

a) Los puntos de una de ellas están situados a una distancia uniforme y constante de los puntos de la segunda. En este caso, las rectas son paralelas.

b) En caso contrario, las rectas se cortarán en un punto (que pertenecerá al mismo tiempo a las dos). Es posible que este punto no aparezca en los límites físicos del dibujo, pero no hay que olvidar que, por definición, las rectas son ilimitadas.

Conceptos geométricos IV: elementos básicos 2

c) Semirrecta:  recta limitada por un extremo. 

Se designa con una letra minúscula (la de la recta) y una mayúscula que corresponde al punto extremo

También se pode designar por dos puntos pertenecientes a ella, un de los cuales será el extremo.

d) Segmento: Es un trozo de línea limitada por dos puntos, que denominaremos extremos. 

Si el tramo es rectilíneo, se llama propiamente segmento, pero si es curvo, le llamaremos arco. 

Los segmentos se designan mediante las letras mayúsculas de sus extremos.

e) Línea quebrada (o poligonal): es la formada por varios segmentos (o arcos). Puede adoptar varias denominaciones segundo sus características: 

-Si el extremo del último segmento no coincide con el del primero, diremos que es una poligonal abierta

-Si el extremo del último segmento coincide con el del primero, será cerrada (en este caso, también se le llama “polígono”). 

Conceptos geométricos III: elementos básicos

a) Punto. Es un concepto geométrico que no tiene dimensiones; constituye un lugar en el espacio o en el plano, que indica una posición. Se nombra con una letra mayúscula y se representa con una pequeña cruz o circulito. Llamamos punto propio a aquel que se representa en el dibujo, mientras que denominamos punto impropio al que se encuentra en el infinito.

b) Línea: sucesión de puntos que siguen una dirección determinada; también se puede definir como el rastro que deja un punto que se desplaza.

·línea recta; cuando su dirección es constante.  

·línea curva: cuando la dirección varía.

Conceptos geométricos II: Lugar geométrico

Definimos “lugar geométrico” como el conjunto de puntos del plano (ya que hanblamos de geometría plana) que cumplen una determinada propiedad geométrica.


Ejemplos:

-La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.

-La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de ese ángulo.

-Una recta paralela es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otra recta dada.

-La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto (que llamamos centro).

-La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a la que están de otros dos puntos fijos (focos) permanece constante.

Conceptos geométricos I: Axiomas

La geometría euclidiana en tres dimensiones se fundamenta en una serie de axiomas, que son verdades comunes, es decir, postulados evidentes que non precisan demostración. Estes postulados se fueron perfeccionando hasta culminar en los axiomas de Hilbert, que se ordenan de la siguiente manera: