Conceptos geométricos I: Axiomas

La geometría euclidiana en tres dimensiones se fundamenta en una serie de axiomas, que son verdades comunes, es decir, postulados evidentes que non precisan demostración. Estes postulados se fueron perfeccionando hasta culminar en los axiomas de Hilbert, que se ordenan de la siguiente manera:



a) Axiomas de enlace:

- Dos puntos distintos determinan una única recta, a la que pertenecen.
- Un plano está determinado univocamente por tres puntos non aliñados.
- Cuando dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos os puntos de la recta pertenecerán a ese plano.
- Cuando un punto pertenece a dos planos, existe otro punto distinto del anterior que también es común a ambos planos.


b) Axiomas de ordenación:

- De tres puntos distintos de una recta, sólo uno de ellos está situado entre los otros dos.
- Dados dos puntos A y B, se define como segmento AB al conjunto de los puntos A e B (llamados extremos), y todos los de la recta que contiene a A y B que estén situados entre A y B.
- Cuando una recta r, perteneciente al plano definido por tres puntos A, B y C que no estén sobre dita recta, contiene un punto del segmento AB, también contiene otro punto del segmento BC o del AC.


c) Axiomas de igualdad (o congruencia):

- Dos figuras se definen como iguales o congruentes cuando entre sus puntos homólogos se puede establecer una correspondencia biunívoca de segmentos iguales determinados por los pares de puntos homólogos de cada una de ellas.


d) Axiomas de paralelismo:

- En un plano determinado por una recta r y un punto A exterior a ella, existe como mucho
unha recta do plano que, contendo a A, non corte a r. De aquí se deduce o postulado de Euclides, que dice que:
- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a dicha recta.
- Del postulado anterior se deduce que en un plano existen infinitas rectas paralelas a una recta r, que tienen la misma dirección. Como consecuencia, si una recta s corta a otra r, cortará también a cualquiera de las paralelas a esta última.