Construcción de triángulos 1: tres lados

Construción dun triángulo dados os tres lados (a, b y c)

1. Sobre una recta cualquiera llevamos la medida de un de los lados (por ejemplo, a) obteniendo así los vértices B y C.

2. Con centro en B y radio igual a c trazamos un arco.

3. Con centro en C y radio igual a b trazamos otro arco.

4.El punto donde se cortan los dos arcos que acabamos de trazar resulta ser el vértice A que nos faltaba.

Triángulos 4: la bisectriz

BISECTRIZ. Recordaremos que la bisectriz es a recta que, pasando por el vértice de un ángulo, divide a éste en dos partes iguales. Dado que un triángulo tiene tres ángulos, evidentemente tendrá también tres bisectrices, que se cortarán en un punto que llamamos "INCENTRO".

El incentro está siempre dentro do triángulo, y además es el centro de la circunferencia inscrita en el mismo (es decir, una circunferencia que queda encerrada en el triángulo y es tangente a los tres lados), ya que por pertenecer simultáneamente a las tres bisectrices, equidista de los tres lados del triángulo.



Si prolongamos dos lados, por ejemplo AB y AC, obtenemos dos ángulos externos, y sus bisectrices se cortarán en el punto E_a, que equidista del lado BC y de las prolongaciones de AB y AC; este punto, llamado “exicentro”, será el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo.

Podemos encontrar dos exicentros más, con sús correspondientes circunferencias, prolongando las parellas de lados BC-BA y CA-CB:

Triángulos 3: elementos notables, Mediana

MEDIANA. Definimos "mediana" como el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Un triángulo tiene tres medianas que se nombran por la letra "m" con subíndice correspondiente el lado del que arrancan: m_a, m_b, m_c. Las tres medianas se cortarán en un punto que llamaremos "BARICENTRO" (que coincide con el centro de gravedad del triángulo). El baricentro de un triángulo debe estar siempre dentro del triángulo, y situado en cada mediana a 2/3 de su longitud del vértice, ya 1/3 del punto medio del lado correspondiente.

Esta proporción puede demostrarse con la siguiente figura: si consideramos E y D como puntos medios de los segmentos BO_B y AO_B, respectivamente, y M_a y M_b como puntos medios de CB y AC, el cuadrilátero M_bM_aED resulta ser un paralelogramo, ya que aplicando semejanza los triángulos ABC y ABO_B, los segmentos M_bM_a y DE son iguales y paralelos. El punto O_B corta a las diagonales del paralelogramo en su punto medio, por lo que M_aO_B = DO_B = AD, y por tanto:

M_aO_B = m_a/3

Si se toman las otras medianas se puede llegar a la misma conclusión.

Triángulos 2: elementos notables, mediatriz

MEDIATRIZ. Recta perpendicular a un lado en su punto medio (es decir, si consideramos cada lado como un segmento, estaríamos hablando de la mediatriz de ese segmento). Como todo triángulo tiene tres lados, tendrá también tres mediatrices (una por cada lado).

Triángulos 1: elementos notables, altura

ALTURA. Si trazamos una recta perpendicular desde un vértice al lado opuesto, el segmento comprendido entre el vértice y el lado recibe el nombre de "altura" (h) del triángulo.

Todo triángulo tiene tres alturas, que se designarán por la letra "h" con subíndice correspondiente al lado al que es perpendicular: h_a, h_b, h_c. Las tres alturas del triángulo se cortan en un punto, que llamamos "ORTOCENTRO" (el ortocentro puede estar fuera del triángulo):

El triángulo que resulta de unir los extremos de las alturas, H_;a;, H_b y H_c se denomina órtico del ABC. 

El triángulo que resulta de trazar líneas paralelas a cada uno de los lados del triángulo ABC pasando por los vértices opuestos a dichos lados se denomina triángulo circunscrito o triángulo A'B'C', siendo los dos semejantes.
El ortocentro de un triángulo ABC coincide con el incentro de su órtico y con el circuncentro del triángulo circunscrito:

Conceptos geométricos VII: Triángulos

Figura plana y cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos.
Los puntos donde se cortan las rectas se llaman “vértices”, y los segmentos que definen, “lados”.

La designación de los triángulos se hace colocando letras mayúsculas para los vértices (ya que son puntos) y letras minúsculas para los lados (por ser trozos de rectas), utilizando la misma letra para un vértice y para el lado opuesto a él.